Question

已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足：
①对于任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；
②f（1）=1；
③若0≤x₁≤1，0≤x₂≤1，x₁+x₂≤1，则有f （x₁+x₂）≥f （x₁）+f （x₂）．
（1）试求f（0）的值；
（2）试求函数f（x）的最大值；
（3）试证明：当x∈(

1

2n

，

1

2n-1

]，n∈N₊时，f（x）＜2x．

Answer 1

分析：（1）通过①②确定f（0）≥0以及f（0）≤0，试求f（0）的值；
（2）任取0≤x₁＜x₂≤1通过f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]≥f（x₂-x₁）+f（x₁）≥f（x₁），当0≤x≤1时，有f（x）≤f（1）=1，当x=1时，f（x）取最大值1；
（3）利用数学归纳法的证明步骤试1⁰当n=1时验证即可；2⁰假设当n=k（k∈N₊，k≥2）时，不等式成立，证明当n=k+1时不等式也成立．

解答：解：（1）令x₁=x₂=0，依条件（3）可得f（0+0）≥2f（0），即f（0）≤0
又由条件（1）得f（0）≥0故f（0）=0（3分）
（2）任取0≤x₁＜x₂≤1可知x₂-x₁∈（0，1]，则
f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]≥f（x₂-x₁）+f（x₁）≥f（x₁）
于是当0≤x≤1时，有f（x）≤f（1）=1因此当x=1时，f（x）取最大值1．（8分）
（3）证明：先用数学归纳法证明：当x∈(

1

2n

，

1

2n-1

]（n∈N₊）时，f（x）≤

1

2n-1

1⁰当n=1时，x∈(

1

2

，1]，f（x）≤f（1）=1=

1

20

，不等式成立．
当n=2时，x∈(

1

4

，

1

2

]，

1

2

＜2x≤1，f（2x）≤1，f（2x）≥f（x）+f（x）=2f（x）
∴f（x）≤

1

2

f（2x）≤

1

2

不等式成立．
2⁰假设当n=k（k∈N₊，k≥2）时，不等式成立，即x∈(

1

2k

，

1

2k-1

]时，f（x）≤

1

2k-1

则当n=k+1时，x∈(

1

2k+1

，

1

2k

]，记t=2x，则t=2x∈(

1

2k

，

1

2k-1

]，∴f（t）≤

1

2k-1

而f（t）=f（2x）≥2f（x），∴f（x）≤

1

2

f（2x）=

1

2

f（t）≤

1

2(k+1)-1

因此当n=k+1时不等式也成立．
由1⁰，2⁰知，当x∈(

1

2n

，

1

2n-1

]（n∈N₊）时，f（x）≤

1

2n-1

又当x∈(

1

2n

，

1

2n-1

]（n∈N₊）时，2x＞

1

2n-1

，此时f（x）＜2x．
综上所述：当x∈(

1

2n

，

1

2n-1

]（n∈N₊）时，有f（x）＜2x．（14分）

点评：本题是中档题，考查函数的值的求法，最值的求法，数学归纳法的应用，考查计算能力，逻辑推理能力．