Question

已知数列{a_n}，{b_n}满足b_n=a_n+1-a_n其中n=1，2，3，…．
（1）若b_n=n且a₁=1，求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n+1b_n-1=b_n（n≥2），且b₁=1，b₂=2时
①求数列{b_n}的前6n项和；
②判断数列{

an

n

}中任意一项的值是否会在该数列中出现无数次？若存在，求出a₁满足的条件，若不存在，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用叠加可得，a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=a₁+b₁+b₂+…+b_n-1
可求a_n，
（2）①由b_n+1b_n-1=b_n（n≥2），可有bn+6=

bn+5

bn+4

=

1

bn+3

=

bn+1

bn+2

=bn，即数列{b_n}，周期为6，数列{b_n}的前6项分别为1，2，2，1，

1

2

，

1

2

，且这六个数的和为7．从而可求前6n项的和
②解：设c_n=a_6n+i（n≥0），则可得，c_n+1-c_n=7（n≥0）即数列{a_6n+i}均为以7为公差的等差数列，设fk=

a6k+i

6k+i

=

ai+7k

i+6k

=

7 6 (i+6k)+ai- 7i 6

i+6k

=

7

6

+

ai- 7i 6

i+6k

，
分ai=

7i

6

  有

an

n

=

7

6

； 当ai≠

7i

6

时 （i）若ai＞

7i

6

，可得f_k+1＜f_k，即数列{

a6k+i

6k+i

}为单调减数列；（ii）若ai＜

7i

6

，则有f_k+1＞f_k，即数列{

a6k+i

6k+i

}为单调增数列；设集合B={

7

6

，

4

3

，

1

2

，-

1

3

，-

1

6

}，通过检验a₁与B的关系来判定

解答：解：（1）当n≥2时，有a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=a₁+b₁+b₂+…+b_n-1…（3分）
=1+

(n-1)×n

2

=

n2

2

-

n

2

+1．…（4分）
又因为a₁=1也满足上式，所以数列{a_n}的通项为an=

n2

2

-

n

2

+1．…（5分）
（2-①）解：因为b_n+1b_n-1=b_n（n≥2），
所以，对任意的n∈N^*有bn+6=

bn+5

bn+4

=

1

bn+3

=

bn+1

bn+2

=bn，
即数列{b_n}各项的值重复出现，周期为6．…（8分）
又数列{b_n}的前6项分别为1，2，2，1，

1

2

，

1

2

，且这六个数的和为7．
设数列{b_n}的前n项和为S_n，则，S_6n=7n； …（11分）
②解：设c_n=a_6n+i（n≥0），（其中i为常数且i∈{1，2，3，4，5，6}），所以c_n+1-c_n=a_6n+6+i-a_6n+i=b_6n+i+b_6n+i+1+b_6n+i+2+b_6n+i+3+b_6n+i+4+b_6n+i+5=7（n≥0）
所以数列{a_6n+i}均为以7为公差的等差数列．…（13分）
设fk=

a6k+i

6k+i

=

ai+7k

i+6k

=

7 6 (i+6k)+ai- 7i 6

i+6k

=

7

6

+

ai- 7i 6

i+6k

，
（其中n=6k+i（k≥0），i为{1，2，3，4，5，6}中的一个常数），
当ai=

7i

6

时，对任意的n=6k+i有

an

n

=

7

6

；                 …（15分）
当ai≠

7i

6

时，fk+1-fk=

ai- 7i 6

6(k+1)+i

-

ai- 7i 6

6k+i

=(ai-

7i

6

)(

1

6(k+1)+i

-

1

6k+i

)
=(ai-

7i

6

)(

-6

[6(k+1)+i](6k+i)

)
（i）若ai＞

7i

6

，则对任意的k∈N有f_k+1＜f_k，所以数列{

a6k+i

6k+i

}为单调减数列；
（ii）若ai＜

7i

6

，则对任意的k∈N有f_k+1＞f_k，所以数列{

a6k+i

6k+i

}为单调增数列；
综上：设集合B={

7

6

}∪{

4

3

}∪{

1

2

}∪{-

1

3

}∪{-

1

6

}∪{

1

2

}={

7

6

，

4

3

，

1

2

，-

1

3

，-

1

6

}，
当a₁∈B时，数列{

an

n

}中必有某数重复出现无数次．
当a₁∉B时，{

a6k+i

6k+i

}（i=1，2，3，4，5，6）均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多出现一次，所以数列{

an

n

}中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．…（18分）

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，数列单调性及数列的周期性的综合应用，试题的综合性较强，基本运算的量较大．