Question

已知函数F(x)=x³+x²+(b-1)x+1(b为常数,且b≠0),f(x)=F′(x),数列{a_n}的首项为1，前n项和为S_n，且a_n+1+a_n≠0(n∈N^*),点A_n(a_n,2bS_n)(n≥2,n∈N^*)在函数f（x）的图象上.

（1）证明数列{a_n}是等差数列；

（2）若b=4，向量=(n,)(n∈N^*),对m、n∈N^*(m≠n),动点M满足·=0，点N是曲线E:x²+y²-2x-6y+9=0上的动点，求|MN|的最小值.

Answer 1

解:（1）f(x)=F′(x)=［x³+x²+(b-1)x+1］′=x²+bx+b-1.

∵A_n(a_n,2bS_n)(n≥2,n∈N^*)在函数f(x)的图象上,∴2bS_n=a_n²+ba_n+b-1(n≥2).①

∴2bS_n+1=a_n+1²+ba_n+1+b-1.②

②-①，得2b(S_n+1-S_n)=a_n+1²-a_n²+ba_n+1-ba_n(n≥2),即2ba_n+1=(a_n+1-a_n)(a_n+1+a_n)+ba_n+1-ba_n.

∴b(a_n+1+a_n)=(a_n+1-a_n)(a_n+1+a_n)(n≥2,n∈N^*).∵a_n+a_n+1≠0,∴a_n+1-a_n=b(n≥2,n∈N^*).

又当n=2时，2bS₂=a_n²+ba_n+b-1,即2b(a₁+a₂)=a₂²+ba₂+b-1.

又a₁=1,∴2b+2ba₂=a₂²+ba₂+b-1,a₂²-ba₂-(b+1)=0.

即［a₂-(b+1)］(a₂+1)=0.∴a₂=b+1或a₂=-1.∵a_n+a_n+1≠0,a₁=1,∴a₂≠-1.∴a₂=b+1.∴a₂-a₁=b.

∴a_n+1-a_n=b对一切正整数n均成立.

∴数列{a_n}是以1为首项，b为公差的等差数列.

（2）由（1），得a_n=1+(n-1)b,当b=4时,a_n=4n-3.

∴S_n=n+·4=2n²-n.∴=2n-1.

则=(n,2n-1),=(m,2m-1).设M(x,y),则=-=(x,y)-(1,1)=(x-1,y-1),

=-=(n,2n-1)-(m,2m-1)=(n-m,2n-2m).

∵·=0,∴(x-1)(n-m)+(y-1)(2n-2m)=0.∵m≠n,∴x+2y-3=0.

∴动点M的轨迹是直线l：x+2y-3=0.

曲线E的方程可化为（x-1)²+(y-3)²=1是以(1,3)为圆心，以1为半径的圆.

由点到直线的距离公式，得圆心E到直线l的距离d=.

∴|MN|的最小值是-1.