Question

（1）求经过点A（5，2），B（3，2），圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程；
（2）设圆上的点A（2，3）关于直线x+2y=0的对称点仍在这个圆上，且与直线x-y+1=0相交的弦长为2

2

，求此圆的方程．

Answer 1

分析：（1）设圆心O（a，b），由圆经过点A（5，2），B（3，2），圆心在直线2x-y-3=0上，得到

(a-5)2+(b-2)2 = (a-3)2+(b-2)2 2a-b-3=0

，由此能求出圆心坐标和圆半径，从而得到圆的方程．
（2）由圆上的点A（2，3）关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上，知圆心在直线x+2y=0上，设圆心为（2a，-a），则R²=（2a-2）²+（-a-3）²，由圆与直线x-y+1=0相交的弦长为2

2

，知圆心到直线l得距离d=

|3a+1|

2

=

R2-2

，由此能求出圆的方程．

解答：解：（1）设圆心O（a，b），
∵圆经过点A（5，2），B（3，2），圆心在直线2x-y-3=0上，
∴

(a-5)2+(b-2)2 = (a-3)2+(b-2)2 2a-b-3=0

，
解得a=4，b=5，∴圆心O（4，5），
∴圆半径r=|AO|=

(5-4)2+(2-5)2

=

10

，
∴圆的方程为（x-4）²+（y-5）²=10．
（2）∵圆上的点A（2，3）关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上，
∴圆心在直线x+2y=0上
设圆心为（2a，-a），则R²=（2a-2）²+（-a-3）²，
∵圆与直线x-y+1=0相交的弦长为2

2

∴圆心到直线l得距离d=

|3a+1|

2

=

R2-2

，
经转化，得（a-7）（a-3）=0
∴a=3或a=7，
经检验都成立
故圆方程为（x-6）²+（y+3）²=52或（x-14）²+（y+7）²=244．

点评：本题考查圆的方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．