Question

已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，且椭圆E上一点到两个焦点距离之和为4，l₁，l₂是过点P(0，2)且互相垂直的两条直线，l₁交E于A，B两点，l₂交E于C，D两点，AB，CD的中点分别为M，N，
(1)求椭圆E的方程；
(2)求l₁的斜率k的取值范围；
(3)求的取值范围．

Answer 1

解：(1)设椭圆方程为，
由得，
∴椭圆方程为。
(2)由题意知，直线l₁的斜率存在且不为零，
∵l₁：y=kx+2，
∴l₂：y=-x+2，
由消去y并化简整理，得(3+4k²)x²+16kx+4=0，
根据题意，Δ=(16k)²-16(3+4k²)＞0，解得k²＞，
 同理得，k²＜4，
∴＜k²＜4，k∈(-2，-)∪(，2)；
(3)设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，M(x₀，y₀)，
那么x₁+x₂=-，
∴x₀=，y₀=kx₀+2=，
∴M，
同理得N，即N，
∴=，
∵＜k²＜4，
∴2≤k²+，
∴，
即的取值范围是。