Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，E、G分别是BC、C₁D₁的中点
（1）求证：EG∥平面BDD₁B₁
（2）求E到平面BDD₁B₁的距离．

Answer 1

分析：（1）取BD的中点F，连结EF，D₁F，证明四边形EFD₁G为平行四边形，利用直线与平面平行的判定定理，证明EG∥平面BB₁D₁D．
（2）由EG∥平面BDD₁B₁，则G到平面BDD₁B₁的距离，即为E到平面BDD₁B₁的距离．

解答：解：（1）取BD的中点F，连结EF，D₁F，
∵E为BC的中点，
∴EF为三角形BCD的中位线，
则EF∥DC，且EF=

1

2

CD，
∵G为C₁D₁的中点，
∴D₁G∥CD，且D₁G=

1

2

CD，
∴EF∥D₁C，且EF=D₁G，
∴四边形EFD₁G为平行四边形，
∴D₁F∥EG，而D₁F?平面BB₁D₁D，EG?平面BB₁D₁D，
∴EG∥平面BB₁D₁D．
（2）∵EG∥平面BDD₁B₁，则G到平面BDD₁B₁的距离，即为E到平面BDD₁B₁的距离．
∴过G作GN⊥B₁D₁ 于N，则GN⊥面BDD₁B₁，
∵G是C₁D₁的中点，
∴D₁G=

1

2

，
又sin45°=

GN

D1G

=

2

2

，
∴GN=

2

2

×

1

2

=

2

4

．
即E到平面BDD₁B₁的距离为

2

4

．

点评：本题主要考查线面直线的判定，以及点到平面的距离，要求熟练掌握线面平行的判定定理和直线和平面平行的性质．