Question

若焦点在x轴上的椭圆

x2

45

+

y2

b2

=1上有一点，使它与两焦点的连线互相垂直，则正数b的取值范围是

（0，

3 10

2

]

．

Answer 1

分析：依题意，求b的范围就是求椭圆短半轴的范围，利用圆的几何性质，将椭圆上存在点使它与两焦点的连线互相垂直的问题转化为以原点为圆心，两焦点为端点的线段为直径的圆与椭圆有交点问题，由椭圆几何性质即可得关于b的不等式，解得b的取值范围

解答：解：∵椭圆

x2

45

+

y2

b2

=1的焦点在x轴上，故b²＜45，即正数b∈（0，3

5

）   ①
设椭圆的焦距为2c，则以原点为圆心，两焦点为端点的线段为直径的圆O的方程为x²+y²=c²
要使椭圆

x2

45

+

y2

b2

=1上有一点，使它与两焦点的连线互相垂直，只需圆O与椭圆有交点，
由椭圆几何性质，只需半径c≥|b|
即c²≥b²，即45-b²≥b²，b²≤

45

2

   ②
由①②解得：b∈（0，

3 10

2

]
故答案为（0，

3 10

2

]

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程，椭圆的几何性质，椭圆与圆的位置关系，求椭圆短半轴范围问题的解法，将问题转化为两曲线交点存在问题是解决本题的关键