Question

已知函数．
（Ⅰ）若f（x）的定义域为[α，β]（β＞α＞0），判断f（x）的单调性，并加以说明；
（Ⅱ）当0＜m＜1时，是否存在α，β，使得f（x）在区间[α，β]（β＞α＞0）上的值域为[log_mm（β-1），log_mm（α-1）]，若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）x＜-3或x＞3．由于f（x）的定义域为[α，β]，则α＞3．
设β≥x₁＞x₂≥α，有，
故当0＜m＜1时，f（x）为减函数，当m＞1时，f（x）为增函数．（4分）
（Ⅱ）若f（x）在[α，β]上的值域为[log_mm（β-1），log_mm（α-1）]
由（Ⅰ）知当0＜m＜1时，f（x）为减函数．
则
即又β＞α＞3
即α，β为方程mx²+（2m-1）x-3（m-1）=0的大于3的两个不同的实数根．
从而得．
故当时，存在满足题意条件的α，β．（13分）
分析：（Ⅰ）通过对数的真数大于0，集合函数f（x）的定义域为[α，β]，推出α的范围．直接利用函数的单调性判断函数的单调性，注意当0＜m＜1与m＞1两种情况．
（Ⅱ）通过f（x）在[α，β]上的值域为[log_mm（β-1），log_mm（α-1）]，利用（Ⅰ）f（x）单调性．列出关系式，通过二次函数与方程的根的关系，确定m的范围，判断是否存在满足题意条件的α，β．
点评：本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，函数的值域，对数函数的单调性与特殊点，考查分析问题解决问题的能力．