Question

【题目】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

（Ⅰ）求曲线和直线的直角坐标方程；

（Ⅱ）直线与轴交点为，经过点的直线与曲线交于，两点，证明：为定值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）曲线：.的直角坐标方程为.（Ⅱ）见证明

【解析】

（Ⅰ）根据曲线的参数方程，平方相加，即可求得曲线普通方程，再根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，即可得到直线的直角坐标方程．

（Ⅱ）设过点的直线方程为（为参数），代入曲线的普通方程，根据参数的几何意义，即可求解．

（Ⅰ）由题意，可得，

化简得曲线：.

直线的极坐标方程展开为，

故的直角坐标方程为.

（Ⅱ）显然的坐标为，不妨设过点的直线方程为（为参数），

代入：得，

所以为定值.