Question

在数列中，若 a1，a2 是正整数，且=|-|,=3，4，5，…，则称||

为“绝对差数列”.

（Ⅰ）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；

（Ⅱ）若“绝对差数列”||中，=3, =0，数列||满足=++

n=1，2，3，…，分虽判断当时, 与的极限是否存在，如果存在，求出其极

限值；

（Ⅲ）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.

Answer 1

（Ⅰ）解：（答案不惟一）

（Ⅱ）解：因为在绝对差数列中.所以自第项开始，该数列是

即自第项开始。每三个相邻的项周期地取值 3，0，3. 所以当时，的极限不存在.

当时, ,所以
（Ⅲ）证明：根据定义，数列必在有限项后出现零项.证明如下
     假设中没有零项，由于,所以对于任意的，都有,从而
     当时, ;
    当 时,
    即的值要么比至少小1，要么比至少小1.
    令    则
    由于是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项，这与
    矛盾. 从而必有零项.
    若第一次出现的零项为第项，记，则自第项开始，每三个相邻的项周                

期地取值  即

所以绝对差数列中有无穷多个为零的项.