Question

已知函数f（x）对任意实数p，q都满足f（p+q）=f（p）f（q），且f（1）=

1

3

（1）当n∈N^*时，求f（n）的表达式；
（2）设a_n=nf（n）（ n∈N^*），S_n是数列{a_n}的前n项和，求证：S_n＜

3

4

（3）设bn=

nf(n+1)

f(n)

（ n∈N^*），数列{b_n}的前n项和为T_n，若

1

T1

+

1

T2

+

1

T3

+…+

1

Tn

＜

m-2000

2

对n∈N^*恒成立，求最小正整数m．

Answer 1

分析：（1）依题意知，当n∈N^*时有f（n+1）=f（n）f（1），利用f（1）=

1

3

，可知，数列{f（n）}是以

1

3

为首项

1

3

为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式即可求得f（n）的表达式；
（2）由a_n=nf（n）=

n

3n

⇒S_n=

1

3

+

2

32

+

3

33

+…+

n

3n

，利用错位相减法即可求得S_n=

3

4

-

2n+3

4•3n

，从而可证S_n＜

3

4

；
（3）依题意，可求b_n=

nf(n+1)

f(n)

=

n

3

，于是易求T_n=

1

3

（1+2+3+…+n）=

n(n+1)

6

，

1

Tn

=6（

1

n

-

1

n+1

），继而可得

1

T1

+

1

T2

+

1

T3

+…+

1

Tn

=6（1-

1

n+1

），利用恒成立问题即可求得答案．

解答：解：（1）由题意可得当n∈N^*时有f（n+1）=f（n）f（1），
又f（1）=

1

3

，即

f(n+1)

f(n)

=

1

3

，
∴数列{f（n）}是以

1

3

为首项

1

3

为公比的等比数列，
∴f（n）=

1

3

×(

1

3

)n-1=

1

3n

．
（2）∵a_n=nf（n）=

n

3n

，
∴S_n=

1

3

+

2

32

+

3

33

+…+

n

3n

，
∴

1

3

S_n=

1

32

+

2

33

+…+

n

3n+1

，
两式相减得：

2

3

S_n=

1

3

+

1

32

+

1

33

+…+

1

3n

-

n

3n+1

=

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

-

n

3n+1

=

1

2

（1-

1

3n

）-

n

3n+1

，
∴S_n=

3

4

-

2n+3

4•3n

＜

3

4

得证．
（3）∵b_n=

nf(n+1)

f(n)

=

n

3

，
∴T_n=

1

3

（1+2+3+…+n）=

n(n+1)

6

，
∴

1

Tn

=

6

n(n+1)

=6（

1

n

-

1

n+1

）
∴

1

T1

+

1

T2

+

1

T3

+…+

1

Tn

=6（1-

1

n+1

），
由题意可得

m-2000

2

≥6恒成立即m≥2012
所以m的最小正整数是2012．

点评：本题考查数列与不等式的综合，着重考查错位相减法求和与裂项法求和的综合应用，突出考查等价转化思想与恒成立问题，属于难题．