Question

如图，正方形ABCD所在平面与圆O所在平面相交于CD，线段CD为圆O的弦，AE垂直于圆O所在平面，垂足E是圆O上异于C、D的点，AE=3，
（1）求证：平面ABCD⊥平面ADE；
（2）已知二面角D-BC-E的平面角的正切值为

5

5

，求BE与平面ABCD所成的角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由已知中AE垂直于圆O所在平面，CD在圆O所在平面上，我们易得AE⊥CD，CD⊥AD，根据线面垂直的判定定理，易得CD⊥平面ADE，由面面平行的判定定理可得，平面ABCD⊥平面ADE．
（2）由已知中二面角D-BC-E的平面角的正切值为

5

5

，以D为坐标原点，分别以ED、CD所在的直线为x轴、y轴建立空间坐标系，利用向量法，易求出BE与平面ABCD所成的角的余弦值．

解答：解：（1）证明：∵AE垂直于圆O所在平面，CD在圆O所在平面上，
∴AE⊥CD．在正方形ABCD中，CD⊥AD，
∴CD⊥平面ADE．∴平面ABCD⊥平面ADE．（6分）
（2）以D为坐标原点，分别以ED、CD所在的直线为x轴、y轴
建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），E（-6，0，0），C(0，-3

5

，0)，A（-6，0，3），B(-6，-3

5

，3)．（8分）
设平面ABCD的法向量为n₁=（1，0，2）向量．（9分）
设平面BCE的法向量为n2=(

5

，2，2

5

)（10分）
∴sin（

n1

，

n2

）=

2

29

．
∴cos（

n1

，

n2

）=

5

29

（13分）
故二面角D-BC-E的平面角的正切值为

5

29

．（14分）

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，与二面角有关的立体几何综合题，用空间向量来解决二面角问题，其步骤是：建立空间直角坐标系?明确相关点的坐标?明确相关向量的坐标?通过空间向量的坐标运算求解．