Question

若不等式

2x2+2kx+k

4x2+6x+3

＜1对于x取任何实数均成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析：先将1移到左边，通分后将分式变为因式相乘的形式，根据题意不等式对于x取任何实数均成立可得出一元二次不等式所对应的方程的判别式＜0，进而可解得答案．

解答：解：∵

2x2+2kx+k

4x2+6x+3

＜1，
∴

2x2+2kx+k

4x2+6x+3

-1＜0，
∴

2x2-2(k-3)x+3-k

4x2+6x+3

＞0，
∴2x²-2（k-3）x+3-k＞0（因为：4x²+6x+3恒正），
∴原不等式对x取任何实数均成立，等价于不等式2x²-2（k-3）x+3-k＞0对x取任何实数均成立．
∴由△＜0，即4（k-3）²-8（3-k）＜0，∴k²-4k+3＜0，
解得：1＜k＜3．
故k的取值范围为 （1，3）．

点评：本题考查一元二次不等式的解法，有一定难度，解答此类题目的关键是掌握不等式对于x取任何实数均成立可得出一元二次不等式所对应的方程的判别式小于0．