Question

如图，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC‖AD，CD=1，AD=2

2

，∠BAD=∠CDA=45°
（1）求异面直线CE与AF所成角的余弦值
（2）证明：CD⊥平面ABF．

Answer 1

分析：（1）通过平移，将FA平移到ED，可得∠CED为异面直线CE与AF所成的角．然后在Rt△CDE中，用余弦的定义加以计算，即可求出求出CE与AF所成角的余弦值．
（2）过点B作BG∥CD，交AD于点G，结合已知条件证出BG⊥AB，从而得出CD⊥AB．再由FA⊥平面ABCD，得CD⊥FA，利用线面垂直的判定定理，即可证出CD⊥平面ABF．

解答：解：（1）∵四边形ADEF是正方形，所以FA∥ED．
∴∠CED为异面直线CE与AF所成的角．
∵FA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴FA⊥CD，可得ED⊥CD．
∵在Rt△CDE中，CD=1，ED=2

2

，
∴CE=

CD2+ED2

=3，可得cos∠CED=

ED

EC

=

2 2

3

．
即异面直线CE和AF所成角的余弦值为

2 2

3

；
（Ⅱ）过点B作BG∥CD，交AD于点G，
∵BG∥CD，∴∠BGA=∠CDA=45°．
∵∠BAD=∠CDA=45°，
∴∠BGA+∠BAG=90°，可得BG⊥AB，
∵BG∥CD，∴CD⊥AB，
又∵FA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴CD⊥FA，
∵FA、AB是平面ABF内的相交直线，
∴CD⊥平面ABF

点评：本题在特殊多面体中证明线面垂直，并求异面直线所成角的大小．着重考查了空间线面垂直的判定与性质、异面直线的定义及其求法等知识，属于中档题．