Question

【题目】已知函数f（x）= ．
（1）判断函数在区间[1，+∞）上的单调性，并用定义证明你的结论．
（2）求该函数在区间[1，4]上的最大值与最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：任取x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2，

f（x1）﹣f（x2）= = ，

∵x1﹣x2＜0，（x1+1）（x2+1）＞0，

所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），

所以函数f（x）在[1，+∞）上是增函数

（2）解：由（1）知函数f（x）在[1，4]上是增函数，

∴最大值f（4）= ，最小值f（1）=

【解析】（1）根据增函数的定义进行判断和证明；（2）利用（1）的结论，利用函数的单调性．
【考点精析】关于本题考查的函数的值域和函数单调性的判断方法，需要了解求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的；单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较才能得出正确答案．