Question

【题目】已知抛物线C：y2=2px（p＞0），上的点M（1，m）到其焦点F的距离为2，
（1）求C的方程；并求其准线方程；
（2）已知A （1，﹣2），是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线L，使得直线L与抛物线C有公共点，且直线OA与L的距离等于 ？若存在，求直线L的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣ ，

由抛物线的定义可知：|MF|=1﹣（﹣ ）=2，解得p=2，

因此，抛物线C的方程为y2=4x；其准线方程为x=﹣1．

（2）解：假设存在符合题意的直线l，其方程为y=﹣2x+t，（OA的方程为：y=﹣2x）

由 ，得y2+2 y﹣2 t=0．

因为直线l与抛物线C有公共点，所以得△=4+8 t，解得t≥﹣1/2．

另一方面，由直线OA与l的距离d= ，可得 ，解得t=±1．

因为﹣1[﹣ ，+∞），1∈[﹣ ，+∞），所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x+y﹣1=0．

【解析】（1）由抛物线的定义可知：|MF|=1﹣（﹣ ）=2，解得p=2，则抛物线方程可得，进而根据抛物线的性质求得其准线方程．（2）先假设存在符合题意的直线，设出其方程，与抛物线方程联立，根据直线与抛物线方程有公共点，求得t的范围，利用直线AO与L的距离，求得t，则直线l的方程可得．