Question

【题目】已知椭圆：的离心率为，直线：与以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.为左顶点，过点的直线交椭圆于，两点，直线，分别交直线于，两点.

（1）求椭圆的方程；

（2）以线段为直径的圆是否过定点？若是，写出所有定点的坐标；若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）是，定点坐标为或

【解析】

（1）根据相切得到，根据离心率得到，得到椭圆方程.

（2）设直线的方程为，点、的坐标分别为，，联立方程得到，，计算点的坐标为，点的坐标为，圆的方程可化为，得到答案.

（1）根据题意：，因为，所以，

所以椭圆的方程为.

（2）设直线的方程为，点、的坐标分别为，，

把直线的方程代入椭圆方程化简得到，

所以，，

所以，，

因为直线的斜率，所以直线的方程，

所以点的坐标为，同理，点的坐标为，

故以为直径的圆的方程为，

又因为，，

所以圆的方程可化为，令，则有，

所以定点坐标为或.