Question

【题目】如图，菱形的边长为12，，与交于点，将菱形沿对角线折起，得到三棱锥，点是棱的中点，．

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）根据题意，由菱形的性质可知和，由直角三角形斜边上的中线的性质得出，利用勾股定理的逆定理得出，根据线面垂直的判定定理即可证出平面，最后由线面垂直的性质得出；

（2）根据菱形对角线的性质得出，，线面垂直的判定定理得出平面，建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，利用空间向量法求二面角的公式，即可求出二面角的余弦值.

证明：（1）∵四边形是菱形，且边长为12，，

∴，，

在中，，，

∴，又是中点，

∴，

又，

则，∴，

又平面，，

∴平面，

又∵平面，

∴．

解：（2）由题意，，，

又由（1）知，

且平面，，则平面，

故以为坐标原点，分别以，，方向为、、轴正向建立空间直角坐标系，

由于，则，

易知，，，

故，，

设平面的法向量，则，

即令，

则，，，

由于已证平面，故平面的法向量为，

所以，

由图知二面角为锐二面角，故其余弦值为.