Question

8．濮阳市黄河滩区某村2010年至2016年人均纯收入（单位：万元）的数据如下表：

年份	2010	2011	2012	2013	2014	2015	2016
年份代号x	1	2	3	4	5	6	7
人均纯收入y	2.9	3.3	3.6	4.4	4.8	5.2	5.9

（Ⅰ）求y关于x的线性回归方程；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2010年至2016年该村人均纯收入的变化情况，并预测该村2017年人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小乘法估计公式分别为：$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{t}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用公式求出$\hat{b}$，$\hat{a}$，即可得出结论．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的线性回归方程，代入x=8即可．

解答 解：（Ⅰ）由题所给的数据样本平均数$\overline{x}$=$\frac{1}{7}（1+2+3+4+5+6+7）$=4，$\overline{y}$=$\frac{1}{7}（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）$=4.3．
∴$\sum _{i=1}^{7}$（x_i-$\overline{x}$）（y_i-$\overline{y}$）=（-3）×（-1.4）+（-2）×（-1）+（-1）×（-0.7）+0+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14
$\sum _{i=1}^{7}$ （x_i-$\overline{x}$）²=9+4+4+0+1+4+9=28．
∴$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）^{2}}$=$\frac{14}{28}=\frac{1}{2}$
∴$\hat{a}$=4.3-$\frac{1}{2}$×4=2.3，
∴y关于x的线性回归方程为：y=$\frac{1}{2}$x+2.3．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得线性回归方程为y=$\frac{1}{2}$x+2.3．
2017年人均纯收入，即x=8，可得y=$\frac{1}{2}×8+2.3=6.3$（万元）．
即预测该村2017年人均纯收入为6.3万元．

点评 本题考查了线性回归方程的求法及应用，属于基础题．