Question

【题目】设，若存在，使得，且对任意，均有（即是一个公差为的等差数列），则称数列是一个长度为的“弱等差数列”.

（1）判断下列数列是否为“弱等差数列”，并说明理由.

①1，3，5，7，9，11；

②2，，，，.

（2）证明：若，则数列为“弱等差数列”.

（3）对任意给定的正整数，若，是否总存在正整数，使得等比数列：是一个长度为的“弱等差数列”？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由

Answer 1

【答案】（1）①是，②不是,理由见解析

（2）证明见解析

（3）存在，证明见解析

【解析】

（1）①举出符合条件的具体例子即可；②反证法推出矛盾；
（2）根据题意找出符合条件的为等差数列即可；
（3）首先，根据，将公差表示出来，计算任意相邻两项的差值可以发现不大于．那么用裂项相消的方法表示出，结合相邻两项差值不大于可以得到，接下来，只需证明存在满足条件的即可．用和公差表示出，并展开可以发现多项式的最高次项为，而已知，因此在足够大时显然成立．结论得证.

解：（1）数列①：1，3，5，7，9，11是“弱等差数列”
取分别为1，3，5，7，9，11，13即可；
数列②2，，，，不是“弱等差数列”
否则，若数列②为“弱等差数列”，则存在实数构成等差数列，设公差为，
，
，

又

与矛盾，

所以数列②2，，，，不是“弱等差数列”；
（2）证明：设，
令，取，则，
则，

，
，
就有，命题成立．
故数列为“弱等差数列”；

（3）若存在这样的正整数，使得
成立．
因为，，
则，其中待定．

从而，

又，

∴当时，总成立．
如果取适当的，使得，又有

所以，有
，
为使得，需要，
上式左侧展开为关于的多项式，最高次项为，其次数为，
故，对于任意给定正整数，当充分大时，上述不等式总成立，

即总存在满足条件的正整数，使得等比数列：是一个长度为的“弱等差数列”.