Question

【题目】已知函数f（x）=lnx﹣ 有两个零点x1、x2 ．
（1）求k的取值范围；
（2）求证：x1+x2＞ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）=lnx﹣ 有2个零点，

即函数g（x）=xlnx的图象与直线y=k有2个交点，

g′（x）=lnx+1，

令g′（x）＞0，解得：x＞ ，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜ ，

∴g（x）在（0， ）递减，在（ ，+∞）递增，

x= 是极小值点，g（ ）=﹣ ，

又x→0时，g（x）→0，

x→+∞时，g（x）→+∞，g（1）=0，

g（x）的大致图象如图示：

；

由图象得：﹣ ＜k＜0

（2）证明：不妨设x1＜x2，由（1）得：0＜x1＜ ＜x2＜1，

令h（x）=g（x）﹣g（ ﹣x）=xlnx﹣（ ﹣x）ln（ ﹣x），

h′（x）=ln[﹣（ex﹣1）2+1]，

当0＜x＜ 时，h′（x）＜0，h（x）在（0， ）递减，h（ ）=0，

∴h（x1）＞0，即g（x1）＞g（ ﹣x1），g（x2）＞g（ ﹣x1），

x2， ﹣x1∈（ ，+∞），g（x）在（ ，+∞）递增，

∴x2＞ ﹣x1，

故x1+x2＞

【解析】（1）问题转化为函数g（x）=xlnx的图象与直线y=k有2个交点，求出g（x）的单调性，画出函数图象，从而求出k的范围即可；（2）设x1＜x2 ， 根据函数的单调性得到x2 ， ﹣x1∈（ ，+∞），g（x）在（ ，+∞）递增，从而证出结论即可．
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减即可以解答此题．