Question

已知双曲线x²-my²=1（m＞0）的右顶点为A，而B、C是双曲线右支上两点，若三角形ABC为等边三角形，则m的取值范围是

（3，+∝）

．

Answer 1

分析：先根据双曲线的对称性求出A点坐标，判断直线BC垂直于x轴，设出直线AB的方程，与双曲线方程联立，因为B，C点存在，所以方程有大于1的解，再利用判别式和对称轴即可求出m的范围．

解答：解：由双曲线的方程知A（1，0），
根据双曲线的对称性，若三角形ABC为等边三角形，则BC垂直于x轴，∴AB的倾斜角为30°
设直线AB方程为y=

3

3

（x-1），代入双曲线方程，化简，得，
（m-3）x²-2mx+m+3=0
∵满足条件的点B，存在，
∴方程（m-3）x²-2mx+m+3=0有两解，一个等于1，一个属于（1，+∞）．
∴

m-3≠0 △=(2m)2-4(m-3)(m+3)＞0  - -2m 2(m-3) ＞1

，
解得，m＞3
∴m的范围是（3，+∞）
故答案为（3，+∞）

点评：本题主要考查了双曲线的应用．涉及了不等式，函数等问题．综合性强．