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    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    精英家教网如图，设抛物线x2=2py（p＞0），M为直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B．求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列．
    分析：设出A，B的坐标，对抛物线的方程进行求导，求得AM和BM的斜率，因此可表示出MA的直线方程和直线MB的方程，联立求得2x0=x1+x2．判断出三者的横坐标成等差数列．
    解答：证明：由题意，设A（x1，
    x12
    2p
    ），B（x2，
    x22
    2p
    ）（x1＜x2），M（x0，-2p）．
    由x2=2py得y=
    x2
    2p
    ，得y′=
    x
    p
    ，
    所以kMA=
    x1
    p
    ，kMB=
    x2
    p
    ．
    因此直线MA的方程为y+2p=
    x1
    p
    (x-x0)    ，直线MB的方程为y+2p=
    x2
    p
    (x-x0)    ．
    所以，
    x12
    2p
    +2p=
    x1
    p
    (x-x0)    ①，
    x22
    2p
    +2p=
    x2
    p
    (x-x0)    ②
    由①、②得
    x1+x2
    2
    =x1+x2-x0    ，因此x0=
    x1+x2
    2
    ，即2x0=x1+x2．
    所以A，M，B三点的横坐标成等差数列．
    点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，考查学生知识的灵活运用的能力和基本的计算的能力，属于中档题．
    练习册系列答案
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    精英家教网如图，设抛物线方程为x2=2py（p＞0），M为直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B．
    （Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；
    （Ⅱ）已知当M点的坐标为（2，-2p）时，|AB|=4
    		10
    ．求此时抛物线的方程；
    （Ⅲ）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线x2=2py（p＞0）上，其中，点C满足
    OC
    =
    OA
    +
    OB
    （O为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，设抛物线C：y=x2的焦点为F，动点P在直线l：x-y-2=0上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点．则△APB的重心G的轨迹方程为
     
    ．

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    （Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；
    （Ⅱ）已知当M点的坐标为（2，2p）时，|AB|=4
    		10
    ，求此时抛物线的方程．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P（0，m）（m＞0）作直线与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点．
    （I）若
    AP
    =λ
    PB
    (λ∈R)    ，证明：λ=-
    x1
    x2
    ；
    （II）在（I）条件下，若点Q是点P关于原点对称点，证明：
    QP
    ⊥(
    QA
    -λ
    QB
    )    ；
    （III）设直线AB的方程是x-2y+12=0，过A，B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程．

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