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    设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合：“①方程f（x）-x=0有实数根；②函数f（x）的导数f′（x）满足0＜f′（x）＜1”．
    （Ⅰ）判断函数f(x)=
    x
    2
    +
    sinx
    4
    是否是集合M中的元素，并说明理由；
    （Ⅱ）集合M中的元素f（x）具有下面的性质：若f（x）的定义域为D，则对于任意[m，n]⊆D，都存在x0∈[m，n]，使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f'（x0）成立”，试用这一性质证明：方程f（x）-x=0只有一个实数根；
    （Ⅲ）设x1是方程f（x）-x=0的实数根，求证：对于f（x）定义域中任意的x2、x3，当|x2-x1|＜1，且|x3-x1|＜1时，|f（x3）-f（x2）|＜2．
    分析：（1）判定函数f(x)=
    x
    2
    +
    sinx
    4
    是否满足：“①方程f（x）-x=0有实数根；②函数f（x）的导数f′（x）满足0＜f′（x）＜1．”
    （2）证明只有一个的问题，可利用反正法进行证明，假设方程f（x）-x=0存在两个实数根α，β（α≠β），然后寻找矛盾，从而肯定结论．
    （3）构造f（x）-x，研究函数f（x）-x的单调性，从而得到|f（x3）-f（x2）|＜|x3-x2|，再利用绝对值不等式即可证得．
    解答：解：（I）因为f′(x)=
    1
    2
    +
    1
    4
    cosx，所以f′(x)∈[
    1
    4
    ，
    3
    4
    ]满足条件0＜f′(x)＜1    ，
    又因为当x=0时，f（0）=0，
    所以方程f（x）-x=0有实数根0．
    所以函数f(x)=
    x
    2
    +
    sinx
    4
    是的集合M中的元素．（3分）
    （II）假设方程f（x）-x=0存在两个实数根α，β（α≠β），
    则f（α）-α=0，f（β）-β=0不妨设α＜β，根据题意存在数c⊆（α，β）
    使得等式f（β）-f（α）=（β-α）f'（c）成立．
    因为f（α）=α，f（β）=β，且α≠β，
    所以f'（c）=1，
    与已知0＜f'（x）＜1矛盾，
    所以方程f（x）-x=0只有一个实数根；（8分）
    （III）不妨设x2＜x3，因为f'（x）＞0，
    所以f（x）为增函数，
    所以f（x2）＜f（x3），
    又因为f'（x）-1＜0，
    所以函数f（x）-x为减函数，
    所以f（x2）-x2＞f（x3）-x3，
    所以0＜f（x3）-f（x2）＜x3-x2，
    即|f（x3）-f（x2）|＜|x3-x2|，
    所以|f（x3）-f（x2）|＜|x3-x2|=|x3-x1-（x2-x1）|≤|x3-x1|+|x2-x1|＜2（13分）
    点评：本题考查了导数的运算，反证法，以及不等式的证明，是一道函数综合问题，有一定难度，可作为考试的压轴题．
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    年级 高中课程 年级 初中课程
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合：“①方程f（x）-x=0有实数根；②函数f（x）的导数f′（x）满足
    0＜f′（x）＜1”
    （I）证明：函数f（x）=
    3x
    4
    +
    x3
    3
    （0≤x＜
    1
    2
    ）是集合M中的元素；
    （II）证明：函数f（x）=
    3x
    4
    +
    x3
    3
    （0≤x＜
    1
    2
    ）具有下面的性质：对于任意[m，n]⊆[0，
    1
    2
    ），都存在xo∈（m，n），使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f′（xo）成立．
    （III）若集合M中的元素f（x）具有下面的性质：若f（x）的定义域为D，则对于任意[m，n]⊆D，都存在xo∈（m，n），使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f′（xo）成立．试用这一性质证明：对集合M中的任一元素f（x），方程f（x）-x=0只有一个实数根．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合：“①方程f（x）-x=0有实数根；②函数f（x）的导数f′（x）满足0＜f′（x）＜1．”
    （Ⅰ）判断函数f(x)=
    x
    2
    +
    sinx
    4
    是否是集合M中的元素，并说明理由；
    （Ⅱ）令g（x）=f（x）-x，判断g（x）的单调性（f（x）∈M）；
    （Ⅲ）设x1＜x2，证明：0＜f（x2）-f（x1）＜x2-x1．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合：（1）方程f（x）-x=0有实数解；（2）函数f（x）的导数f′（x）满足0＜f′（x）＜1．给出如下函数：
    ①f(x)=
    x
    2
    +
    sinx
    4
    ；
    ②f（x）=x+tanx，x∈(-
    π
    2
    ，
    π
    2
    )    ；
    ③f（x）=log3x+1，x∈[1，+∞）．
    其中是集合M中的元素的有
    ①③
    ①③
    ．（只需填写函数的序号）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•江西模拟）设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合：①方程f（x）-x=0有实根；②函数f（x）的导数f′（x）满足0＜f′（x）＜1．
    （1）若函数f（x）为集合M中的任意一个元素，证明：方程f（x）-x=0只有一个实根；
    （2）判断函数g（x）=
    x
    2
    -
    lnx
    2
    +3(x＞1)    是否是集合M中的元素，并说明理由；
    （3）设函数f（x）为集合M中的任意一个元素，对于定义域中任意α，β，证明|f（α）-f（β）|≤|α-β|

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