Question

【题目】在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点，（）在曲线C：上，直线l过点且与垂直，垂足为P．

（Ⅰ）当时，求在直角坐标系下点P坐标和l的方程；

（Ⅱ）当M在C上运动且P在线段上时，求点P在极坐标系下的轨迹方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ），．

【解析】

（1）利用极坐标转换公式可得，则可求出直线斜率，利用垂直关系可求出的斜率，由点斜式可求出直线的方程，联立和直线可求出垂足坐标.

（2）设点的极坐标为，由题意结合平面几何知识可得，求出，即可得解.

解：（1）因为在上，当，,则M极坐标为，化成直角坐标为,则直线斜率为，所以，

此时在平面直角坐标系下：，则的方程：，即.

联立和直线得，解得 ，则.

（2）设点的极坐标为，因为在上且垂直于，

，因为P在线段上，且，

故的取值范围是．所以，P点轨迹的极坐标方程为，.