Question

如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AB=BC=3，AC=2，D是AC的中点．
（1）求证：B₁C∥平面A₁BD；
（2）求证：平面A₁BD⊥平面ACC₁A₁．

Answer 1

分析：（1）连结AB₁交A₁B于点E，连结OE．证出DE为△AB₁C的中位线，得DE∥B₁C，利用线面平行的判定定理，即可证出B₁C∥平面A₁BD；
（2）利用等腰三角形“三线合一”证出BD⊥AC，根据AA₁⊥平面ABC证出BD⊥AA₁，从而证出BD⊥平面ACC₁A₁，结合BD是平面A₁BD内的直线，利用面面垂直的判定定理，可得平面A₁BD⊥平面ACC₁A₁．

解答：解：（1）连结AB₁，交A₁B于点E，连结OE
∵四边形AA₁B₁B为平行四边形，
∴E为AB₁的中点，
∵D是AC的中点，可得DE为△AB₁C的中位线，
∴DE∥B₁C，
∵DE?平面A₁BD，B₁C?平面A₁BD，
∴B₁C∥平面A₁BD；
（2）∵△ABC中，AB=BC，AD=DC，∴BD⊥AC，
∵AA₁⊥平面ABC，BD?平面ABC，∴BD⊥AA₁，
∵AC、AA₁是平面ACC₁A₁内的相交直线，
∴BD⊥平面ACC₁A₁，
∵BD?平面A₁BD，
∴平面A₁BD⊥平面ACC₁A₁．

点评：本题在直三棱柱中证明线面平行和面面垂直，着重考查了直三棱柱的性质和空间平行、垂直位置关系的判定与证明等知识，属于中档题．