Question

【题目】已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A（﹣1，5），B（﹣2，﹣1），C（2，3）．

（1）求平行四边形ABCD的顶点D的坐标；
（2）在△ACD中，求CD边上的高所在直线方程；
（3）求四边形ABCD的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：解法一：设D（x，y），

∵A（﹣1，5），B（﹣2，﹣1），C（2，3）， ，

∴（﹣1，﹣6）=（2﹣x，3﹣y），

∴x=3，y=9，即D（3，9）．

解法二：∵A（﹣1，5），B（﹣2，﹣1），C（2，3），

∴AC中点为 ，

该点也为BD中点，设D（x，y），

则可得D（3，9）

（2）解：∵A（﹣1，5），B（﹣2，﹣1），C（2，3），

∴CD边的斜率kCD= =6，

∴CD边上的高的斜率为 ，

∴CD边上的高所在的直线方程为y﹣5=﹣ （x+1），即x+6y﹣29=0

（3）解：解法一：∵B（﹣2，﹣1），C（2，3）．

∴直线BC： = ，即x﹣y+1=0，

∴A到BC的距离为d= ，

又BC= =4 ，

∴四边形ABCD的面积为 ．

解法二：∵ ， ，

∴由余弦定理得

∴

∴四边形ABCD的面积为

【解析】（1）可以利用平行四边形的一组对边平行，借助向量求得点D的坐标；也可以利用平行四边形的两条对角线互相平分，借助中点坐标公式求得点D的坐标；（2）利用两条互相垂直的直线的斜率积为-1，由直线CD的斜率求得其边上高的斜率，又过点A，进而求得CD边上的高所在的直线方程；（3）可以利用一边与其边上的高求得平行四边形的面积，也可以利用：一条对角线将三角形分为两个面积相等的三角形，来求平行四边形的面积.