Question

设z是虚数，ω=z+是实数，且-1＜ω＜2.

(1)求|z|的值及z的实部的取值范围；

(2)设u=，求证:u为纯虚数；

(3)求ω-u²的最小值.

 

Answer 1

(1)解:设z=a+bi(a、b∈R,b≠0),则ω=a+bi+=(a+)+(b-)i.

    ∵ω是实数，b≠0,

    ∴a²+b²=1,即|z|=1.

    ∵ω=2a,-1＜ω＜2,

    ∴z的实部的取值范围是(-,1).

(2)证明:u==

    =

    =

    =-i.

    ∵a∈(-,1),b≠0,

    ∴u为纯虚数.

(3)解:ω-u²=2a+

    =2a+=2a-

    =2a-1+=2［(a+1)+］-3.

    ∵a∈(-,1),∴a+1＞0.

    ∴ω-u²≥2×2-3=1.

    当a+1=,即a=0时，上式取等号.

    ∴ω-u²的最小值为1.