Question

（本小题14分）四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，.

（I）取的中点为，的中点为，证明：FG∥面；

（II）证明：.

Answer 1

解答

（I）证明：取AB中点H，连接GH，CH

因为G是AE中点，所以HG∥＝BE，又因为矩形BCDE，所以BE∥=CD，且F是CD中点，

所以HG∥＝CF，所以四边形FGHC是平行四边形，所以FG∥CH，………………………………4分

又因为FG平面ABC，CH平面ABC，所以FG∥面；………………………………7分

（II）取BC中点Q，连接AQ，DQ

因为AC=AB，所以AQ⊥BC，

因为侧面底面，AQ平面ABC，平面ABC∩平面=BC，

所以AQ⊥平面BCDE，……………………………………………………………………………………8分

因为CE平面BCD ，所以 CE⊥AQ……………………………………………………………9分

又在矩形BCDE中，，BE=,CQ=1, 所以

所以Rt△CDQ∽Rt△BCE，所以∠DQC=∠CEB, ………………………………………………10分

所以∠DQC+∠BCE=∠CEB+∠BCE=90^{o  ，}所以CE⊥BQ…………………………12分（其他方法参照给分）

因为AQ∩BQ=Q，所以CE⊥平面ADQ，………………………………………………13分

AD平面ADQ，所以………………………………………………………………14分