Question

在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=BD=2AE，M是AB的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：
（1）求证：CM⊥EM；
（2）求CM与平面CDE所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）分别以CB，CA所在直线为x，y轴，过点C且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系C-xyz，写出要用的点的坐标，写出线对应的向量的坐标，根据两个向量的数量积等于0，得到结论．
（2）写出直线的方向向量，设出平面的法向量，根据法向量与平面上的向量垂直，数量积等于0，得到两个关于法向量坐标的关系式，写出其中一个法向量，根据法向量与直线的夹角得到结果．

解答：（1）分别以CB，CA所在直线为x，y轴，过点C且与平面ABC垂直的直线为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz
设AE=a，则M（a，-a，0），E（0，-2a，a），
所以

CM

=(a，-a，0)，

EM

=(a，a，-a)，
∴

CM

•

EM

=a×a+(-a)×a+0×(-a)=0，
∴CM⊥EM．
（2）

CE

=(0，-2a，a)，

CD

=(2a，0，2a)，
设平面CDE的法向量

n

=（x，y，z），
则有

-2ay+az=0 2ax+2az=0

即

z=2y x=-z

令y=1，则

n

=（-2，1，2），cos?

CM

，n＞=

CM •n

| CM ||n|

=

a×(-2)+(-a)×1+0×2

2 a×3

=-

2

2

，
∴直线CM与平面CDE所成的角为45°

点评：本题考查利用空间向量的语言来描述线面之间的关系，本题解题的关键是正确建立坐标系，写出要用的点的坐标．