Question

（15分）在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴和y轴上（如图），且OC=1，OA=a+1(a>1)，点D在边OA上，满足OD=a. 分别以OD、OC为长、短半轴的椭圆在矩形及其内部的部分为椭圆弧CD. 直线l：y=－x+b与椭圆弧相切，与AB交于点E.

（1）求证：；

（2）设直线l将矩形OABC分成面积相等的两部分，求直线l的方程；

（3）在（2）的条件下，设圆M在矩形及其内部，且与l和线段EA都相切，求面积最大的圆M的方程．

Answer 1

解析：题设椭圆的方程为.                    …………………………1分

由消去y得.   ………………………2分

由于直线l与椭圆相切，故△＝(－2a²b)²－4a²(1+a²) (b²－1)＝0，

化简得.          ①                        …………………………4分

（2）由题意知A（a+1，0），B（a+1，1），C（0，1），

于是OB的中点为.                           ………………………5分

因为l将矩形OABC分成面积相等的两部分，所以l过点，

即，亦即.         ②          …………………………6分

由①②解得，故直线l的方程为    ………………………8分

（3）由（2）知.

因为圆M与线段EA相切，所以可设其方程为.………9分

因为圆M在矩形及其内部，所以      ④     ……………………… 10分

圆M与 l相切，且圆M在l上方，所以，即.

………………………12分

代入④得即            ………………………13分

所以圆M面积最大时，，这时，.

故圆M面积最大时的方程为 ………………………15分