Question

设函数f（x）=k×2^x-2^-x是定义域为R的奇函数．
（1）求k的值，并判断f（x）的单调性（不需要用定义证明）；
（2）解不等式f[f（x）]＞0；
 （3）设g（x）=4^x+4^-x-2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为-2，求m的值．

Answer 1

分析：（1）利用f（0）=0，求得k的值，再验证函数是奇函数即可，判断y=2^x，y=-2^-x是增函数，即可得到结论；
（2）f[f（x）]＞0，等价于f[f（x）]＞f（0），利用函数的单调性，可得结论；
（3）先换元，再利用配方法，分类讨论，利用函数在[1，+∞）上的最小值为-2，可求m的值．

解答：解：（1）∵函数f（x）=k×2^x-2^-x是奇函数，∴f（0）=0，∴k×2⁰-2^-0=0，∴k=1．

∴f(x)=2x-2-x

，此时f（-x）=-f（x），满足题意
∵y=2^x是增函数，∴y=-2^-x是增函数，∴f（x）=2^x-2^-x是增函数；
（2）∵f[f（x）]＞0，∴f[f（x）]＞f（0）．
∵f（x）=2^x-2^-x是增函数，∴2^x-2^-x＞0，∴2^x＞2^-x，∴x＞0，∴f[f（x）]＞0的解集是（0，+∞）．
（3）令2^x-2^-x=t，∵x≥1，∴t≥

3

2

，y=t2-2mt+2=(t-m)2+2-m2(t≥

3

2

)，
①当m≥

3

2

时，g(x)min=2-m2，∴2-m²=-2，∴m=2．
②当m＜

3

2

时，y在t=

3

2

时取最小值，

9

4

-3m+2=-2，∴m=

25

12

（舍去）．
综上得m=2．

点评：本题考查函数奇偶性与单调性的结合，考查解不等式，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．