Question

已知函数f（x）=

1

3

x³-ax+1，
（1）若x=1时，f（x）取得极值，求实数a的值；
（2）当a＜1时，求f（x）在[0，1]上的最小值；
（3）若对任意m∈R，直线y=-x+m都不是曲线y=f（x）的切线，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用f′（1）=0，再验证在x=1的左右两侧f′（x）的符号是否异号即可；
（2）对于f′（x）分类讨论当a≤0时与0＜a＜1时，利用f（x）的单调性即可得出；
（3）任意m∈R，直线y=-x+m都不是曲线y=f（x）的切线，?f′（x）=x²-a≠-1对x∈R恒成立，即f′（x）=x²-a的最小值大于-1，解出即可．

解答：解：（1）∵f′（x）=x²-a，又x=1时f（x）取得极值，
∴f′（1）=1-a=0，解得a=1．
∴f′（x）=x²-1=（x+1）（x-1）．
当x∈（-1，1）时，f′（x）＜0；  
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0．
∴f（x）在x=1时取得极小值，故a=1符合．
（2）当a≤0时，f′（x）≥0对x∈[0，1]恒成立，f（x）在[0，1]上单调递增，
∴f（x）_min=f（0）=1，
当0＜a＜1时，由f′（x）=x²-a=0解得x=±

a

，
若x∈(0，

a

)，则f′（x）＜0，
∴f（x）在(0，

a

)上单调递减．
若x∈(

a

，1)，则f′（x）＞0，
∴f（x）在(

a

，1)上单调递增．
∴f（x）在x=

a

时取得极小值，也是最小值，即f(x)min=f(

a

)=1-

2a a

3

．
综上所述，f（x）_min=

1，a≤0 1- 2a a 3 ，0＜a＜1

．
（3）∵任意m∈R，直线y=-x+m都不是曲线y=f（x）的切线，
∴f′（x）=x²-a≠-1对x∈R恒成立，
即f′（x）=x²-a的最小值大于-1，
而f′（x）=x²-a的最小值为f′（0）=-a，
∴-a＞-1，故a＜1．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、切线、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于难题．