Question

（2012•河北模拟）如图，已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，梯形ABCD（AB∥CD∥y轴，|AB|＞|CD|）内接于椭圆C．
（I）设F是椭圆的右焦点，E为OF（O为坐标原点）的中点，若直线AB，CD分别经过点E，F，且梯形ABCD外接圆的圆心在直线AB上，求椭圆C的离心率；
（II）设H为梯形ABCD对角线的交点，|AB|=2m，|CD|=2n，|OH|=d，是否存在正实数λ使得

m-n

d

≤

λb

a

恒成立？若成立，求出λ的最小值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）利用梯形ABCD外接圆的圆心在直线AB上，可得|AE|=|ED|，由此建立方程，求得几何量之间的关系，从而可求椭圆C的离心率；
（II）先确定H在x轴上，再利用韦达定理表示出m-n，进而利用基本不等式，即可求得结论．

解答：解：（I）设F（c，0），则E（

c

2

，0），D（c，

b2

a

），A（

c

2

，

b 4a2-c2

2a

）
由题意，梯形ABCD外接圆的圆心在直线AB上，则|AE|=|ED|，所以

b2(4a2-c2)

4a2

=

c2

4

+

b4

a2

化简得2a²=3c²，所以椭圆的离心率e=

c

a

=

6

3

；
（II）根据对称性知识，可得H在x轴上，设H（x₀，0），则|x₀|=d
设直线BD的方程为x=ty+x₀，代入椭圆方程，消去x得（a²+b²t²）y²+2x0tb2y+

b2x

2 0

-a2b2=0
设B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则y₁+y₂=-

2x0tb2

a2+b2t2

由题意，m=|y₁|，n=|y₂|，且y₁，y₂异号
∵m＞n＞0
∴m-n=|y₁+y₂|=|-

2x0tb2

a2+b2t2

|=

2d|t|b2

a2+b2t2

∴

m-n

d

=

2|t|b2

a2+b2t2

=

2b2

a2 |t| |+b2|t|

≤

2b2

2ab

=

b

a

∴存在正实数λ使得

m-n

d

≤

λb

a

恒成立，且λ的最小值为1．

点评：本题考查椭圆的离心率，考查存在性问题，考查学生的计算能力，属于中档题．