Question

（2011•重庆模拟）如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AB=2，BC=1，AA₁=

6

．
（Ⅰ）求点A₁到平面AB₁C₁的距离；
（Ⅱ）求二面角B-AB₁-C₁的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设点A₁到平面AB₁C₁的距离为h，利用等体积可求；
（Ⅱ）分别以CB，CC₁，CA为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，分别求平面BAB₁、AB₁C₁一个法向量，再利用公式求二面角B-AB₁-C₁的余弦值．

解答：解：（Ⅰ）设点A₁到平面AB₁C₁的距离为h，则由题意，
AC₁=3．B₁C₁=1，B₁C₁⊥AC₁
∴

1

2

×

3

×1×

6

=

1

2

× 3×1×h
∴h=

2

（Ⅱ）分别以CB，CC₁，CA为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A(0，0，

3

)，B(1，0，0)，B1(1 ，

6

，0)，C1(0 ，

6

，0)
设平面BAB₁的一个法向量为

n

=(x，y，z)，则

x- 3 z=0 6 y=0

，∴x=

3

，y=0，z=1，∴

n

=(

3

，0，1)
同理可得平面AB₁C₁的一个法向量

m

=(0，1，

2

)
设二面角B-AB₁-C₁的大小为α，则cosα=

2

2 3

=

6

6

∴二面角B-AB₁-C₁的余弦值为

6

6

．

点评：本题以直三棱柱为载体，考查点面距离，考查面面角，关键是构建空间直角坐标系，用坐标表示向量，进而利用公式求解．