Question

如图，在三棱锥中，，，°，平面平面，、分别为、中点．

（1）求证：∥平面；
（2）求证：；
（3）求二面角的大小．

Answer 1

（1）证明详见解析；（2）证明详见解析；（3）

试题分析：（1）先证DE//BC，根据直线与平面平行的判定定理可证∥平面；（2）连结PD，则PD  AB．再证DE AB．根据直线与平面垂直的判定定理可得AB平面PDE，所以；（3）以D为原点，直线AB,DE,DP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则=(1，0， )，=(0， ， ），求出平面PBE的一个法向量，由DE平面PAB，可得平面PAB的一个法向量为．最后根据向量的夹角公式求解即可.
试题解析：解：（Ⅰ） D、E分别为AB、AC中点，
\DE//BC ．
DEË平面PBC，BCÌ平面PBC，
\DE//平面PBC ．         3分
（Ⅱ）连结PD，
PA=PB，
 PD  AB．         4分
，BC  AB，
DE AB．         5分
又 ，
AB平面PDE         6分
PEÌ平面PDE，
ABPE ．        7分
（Ⅲ）平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABC=AB，PD  AB，PD平面ABC．
8分
如图，以D为原点建立空间直角坐标系

B(1，0，0)，P(0，0，)，E(0，，0) ，
=(1，0， )，=(0， ， ）．
设平面PBE的法向量，
令
得．          9分
DE平面PAB，
平面PAB的法向量为． 10分
设二面角的大小为，
由图知，，所以即二面角的大小为．         12分