Question

已知函数，x∈（0，+∞）．
（1）当a=8时，求f（x）的单调区间；
（2）对任意正数a，证明：1＜f（x）＜2．

Answer 1

【答案】分析：（1）把a=8代入函数解析式，求出函数的导数，并判断导数的符号，得到函数的单调区间．
（2）令，则abx=8①，②，将f（x）解析式进行放缩，使用基本不等式，可证
f（x）＞1，由①、②式中关于x，a，b的对称性，不妨设x≥a≥b．则0＜b≤2，当a+b≥7，将f（x）解析式进行放缩，可证
f（x）＜2；当a+b＜7③，将f（x）解析式进行放缩，再使用基本不等式证明f（x）＜2．综上，1＜f（x）＜2．
解答：解：（1）、当a=8时，，求得，
于是当x∈（0，1]时，f'（x）≥0；而当x∈[1，+∞）时，f'（x）≤0．
即f（x）在（0，1]中单调递增，而在[1，+∞）中单调递减．
（2）．对任意给定的a＞0，x＞0，由，
若令，则abx=8①，
而②
（一）先证f（x）＞1；因为，，，
又由，得a+b+x≥6．
所以
=
=．
（二）再证f（x）＜2；由①、②式中关于x，a，b的对称性，不妨设x≥a≥b．则0＜b≤2
（ⅰ）当a+b≥7，则a≥5，所以x≥a≥5，因为，，此时．
（ⅱ）当a+b＜7③，由①得，，，
因为
所以④
同理得⑤，
于是⑥
今证明⑦，
因为，
只要证，即ab+8＞（1+a）（1+b），也即a+b＜7，据③，此为显然．
因此⑦得证．故由⑥得f（x）＜2．
综上所述，对任何正数a，x，皆有1＜f（x）＜2．
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，用放缩法、基本不等式法证明不等式，体现分类讨论的数学思想．