Question

记[x]为不超过实数x的最大整数，例如，[2]=2，[1.5]=1，[-0.3]=-1．设a为正整数，数列{x_n}满足x₁=a，，现有下列命题：
①当a=5时，数列{x_n}的前3项依次为5，3，2；
②对数列{x_n}都存在正整数k，当n≥k时总有x_n=x_k；
③当n≥1时，；
④对某个正整数k，若x_k+1≥x_k，则．
其中的真命题有    ．（写出所有真命题的编号）

Answer 1

【答案】分析：按照给出的定义对四个命题结合数列的知识逐一进行判断真假，①列举即可；②需举反例；③可用数学归纳法加以证明；④可由归纳推理判断其正误
解答：解：①当a=5时，x₁=5，
，
，
∴①正确．
②当a=8时，x₁=8，




∴此数列从第三项开始为3，2，3，2，3，2…为摆动数列，故②错误；
③当n=1时，x₁=a，∵a-（）=＞0，∴x₁=a＞成立，
假设n=k时，，
则n=k+1时，，
∵≥≥，
∴＞
∴对任意正整数n，当n≥1时，；③正确；
④∵≥x_k，
由数列①②规律可知一定成立
故正确答案为①③④
点评：本题主要考查了数列递推公式的应用，归纳推理和演绎推理的方法，直接证明和间接证明方法，数学归纳法的应用，难度较大，需有较强的推理和思维能力