Question

已知函数f（x）=x+

a

x

有如下性质，如果常数a＞0，那么该函数在（0，

a

]上是减函数，在[

a

，+∞)，上是增函数．写出f（x）=x+

4

x

，（x＞0）的减区间，并用定义证明．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：首先，得到f（x）=x+

4

x

，（x＞0）的减区间：（0，2]，然后，根据单调性的定义进行证明．

解答： 解：f（x）=x+

4

x

，（x＞0）的减区间：（0，2]，证明如下：
任x₁，x₂∈（0，2]设，且x₁＜x₂，则，
f（x₁）-f（x₂）=x1+

4

x1

-x2-

4

x2

=x₁-x₂+

4(x2-x1)

x1x2

=（x₁-x₂）（1-

4

x1x2

）
∵0＜x₁＜x₂≤2，
∴x₁-x₂＜0，1-

4

x1x2

＜0，
∴（x₁-x₂）（1-

4

x1x2

）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）=x+

4

x

，在区间（0，2]上为减函数．

点评：本题重点考查了函数的单调性、函数的单调性定义证明等知识，属于中档题．