Question

如图1，正方形ABCD在平面直角坐标系内（O为坐标原点），点A，D在x轴上，点B的坐标为（3，3

3

），点F在AD上，且AF=3，过点F且平行于y轴的线段EF与BC交于点E，现将正方形一角折叠使顶点B落在EF上，并与EF上的点G重合，折痕为HI，且知BG=2

3

，B（5，3

3

），点J为折痕HI所在的直线与x轴的交点．
（1）求折痕HI所在直线的函数表达式；
（2）若点P在线段HI上，当△PGI为等腰三角形时，请求出点P的坐标，并写出解答过程；
（3）①如图2，在y轴上有一点Q，其坐标为（0，-2k）作直线JQ另有一直线y=

k

2

x-

k

2

，两直线交于点S，请证明点S在正方形ABCD的AB边所在直线上；
②在①中，在直线y=

k

2

x-

k

2

上有一点R的横坐标为-1，那么问

QS-QR

JS

的值为定值吗？若是定值求出这个值，若不是，则说明理由．
    

Answer 1

考点：曲线与方程

专题：综合题

分析：（1）设出直线HI：y=kx+b，把h坐标代入直线方程，用k表示b，由B点到HI的距离等于

3

列方程求得k的值，则直线HI的方程可求；
（2）根据（1）求得BG的方程，由I的坐标求得G的坐标，设P（t+2，

3

t），然后分PG=PI，PG=GI，PI=GI三种情况求得P的坐标；
（3）①由（1）求得J的坐标，结合Q（0，-2k）求得直线JQ的方程，和直线2y=k（x-1）联立求得S坐标，从而说明S在直线AB（x=3）上．
②求出Q，J，S，R的坐标，再求得QS=3

1+k2

，QR=

1+k2

，JS=

1+k2

，即可得到

QS-QR

JS

为定值．

解答： 解：（1）设HI：y=kx+b，
∵直线过H（5，3

3

），则3

3

=5k+b，即：b=3

3

-5k
∵BG=2

3

，
∴B点到HI的距离=

3

，即：

3

•

k2+1

=|3k+b-3

3

|=|3k+3

3

-5k-3

3

|，
两边平方得：3k²+3=4k²，即k=±

3

．
其中k=-

3

不合题意，舍去．
∴HI：y=

3

x-2

3

；
（2）根据（1）可得，BG：y=4

3

-

3

3

x，I（3，

3

），
∴G（6，2

3

），
设P（t+2，

3

t），则
当PG=PI时，（t-4）²+3（t-2）²=（t-1）²+3（t-1）²，解得t=2，P1(4，2

3

)；
当PG=GI时，(t-4)2+3(t-2)2=(6-3)2+(

3

)2，解得t=4或t=1（舍去，与I点重合），P2(6，4

3

)；
当PI=GI时，(t-1)2+3(t-1)2=(6-3)2+(

3

)2，解得t=1-

3

或t=1+

3

．
∴P3(3-

3

，-3+

3

)，P4(3+

3

，3+

3

)；
（3）①由（1）得：J（2，0），∵Q（0，-2k），直线2y=k（x-1），
∴JQ：y=k（x-2），
与直线2y=k（x-1）联立，即得S（3，k），S在直线AB（x=3）上．
②Q（0，-2k），J（2，0），S（3，k），R（-1，-k），
QS=3

1+k2

，QR=

1+k2

，JS=

1+k2

，

QS-QR

JS

=

3 1+k2 - 1+k2

1+k2

=2为定值．

点评：本题考查了曲线方程的求法，考查了分类讨论的数学思想方法，正确理解题意是解答该题的关键，是中高档题．