Question

（一、二级达标校做）
如图，在梯形ADBC中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=BC=1，PA⊥平面ABCD，CD⊥PC，PA=．
（Ⅰ） 证明：平面PAC⊥平面PCD；
（Ⅱ）若E为AD的中点，求证：CE∥平面PAB；
（Ⅲ）求四面体A-FCD的体积．

Answer 1

解：（I）∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD
∴PA⊥CD
又CD⊥PC，PA∩PC=P．
∴CD⊥平面PAC
∵CD?平面PCD
∴平面PAC⊥平面PCD．
（Ⅱ）∵AD∥BC，AB⊥BC，AB=BC=1，
∴∠BAC=45°，∠CAD=45°，AC=
∵CD⊥平面PAC，CA?平面PAC
∴CD⊥CA，
∴Rt△ACD中，AD=AC=2
又∵E为AD的中点，
∴四边形ABCE是正方形，
∴CE∥AB
∵CE?平面PAB，AB?平面PAB
∴CE∥平面PAB．
（Ⅲ）设PC的中点为F，连AF．
在Rt△PAC中，PA=，AC=，PC=2，
∴AF⊥PC，且AF=1，
由（Ⅰ）知：平面PAC⊥平面PCD，
∵平面PAC∩平面PCD=PC
∴AF⊥平面PCD，
在Rt△PCD中，CD=，PC=2，
∴S_△PCD=CD•PC=，
∴V_A-PCD=S_△PCD•AF=••1=
分析：（I）用线面垂直的性质，结合PA⊥平面ABCD，得PA⊥CD，再结合CD⊥PC，PA∩PC=P，得到CD⊥平面PAC，最后利用面面垂直的判定定理，得到平面PAC⊥平面PCD．
（II）根据底面直角梯形结合题中长度，可分别证出△ABC和△ACD是等腰直角三角形，结合E为AD的中点，证明出四边形ABCE是正方形，从而CE∥AB，结合线面平行的判定定理，可得CE∥平面PAB．
（III）设PC的中点为F，连AF，可以证出△PAC是等腰直角三角形且AF是斜边上的高，结合（I）平面PAC⊥平面PCD，得到AF是四面体A-FCD的高，然后计算出三角形PCD的面积，结合锥体的体积公式，可以算出四面体A-FCD的体积．
点评：本题结合一个底面为直角梯形且一条侧棱与底垂直的四棱锥为载体，着重考查了平面与平面垂直的判定、直线与平面平行的判定和锥体体积公式，属于中档题．