Question

设函数f（x）=-

x

1+丨x丨

（x∈R），集合N={y丨y=f（x），x∈M}，其中M=[a，b]（a＜b），则使M=N成立的实数对（a，b）有（　　）

• A、0个
• B、1个
• C、2个
• D、无数多个

Answer 1

考点：集合的相等

专题：集合

分析：由已知条件推导出f（x）是一个奇函数，且f（x）在R上是减函数，所以a=-

b

1+|b|

，b=-

a

1+|a|

，解得a=b=0，与已知条件a＜b矛盾，故使M=N成立的实数对（a，b）不存在．

解答：解：∵f（x）=-

x

1+丨x丨

，
∴f（-x）=-

-x

1+|-x|

=

x

1+|x|

=-f（x），
∴f（x）是一个奇函数，
x≥0时，f（x）=-

x

1+x

=

-x-1+1

x+1

=-1+

1

x+1

，是减函数
∴f（x）在R上是减函数，
∵x∈[a，b]
∴值域是[f（b），f（a）]，
即a=f（b），b=f（a）
∴a=-

b

1+|b|

，b=-

a

1+|a|

，
解得a=b=0，与已知条件a＜b矛盾，
∴使M=N成立的实数对（a，b）不存在．
故选：A．

点评：本题考查集合相等的应用，解题时要认真审题，是基础题．