Question

【题目】函数f（x）=loga（3﹣ax）（a＞0，a≠1）
（1）当a=3时，求函数f（x）的定义域；
（2）若g（x）=f（x）﹣loga（3+ax），请判定g（x）的奇偶性；
（3）是否存在实数a，使函数f（x）在[2，3]递增，并且最大值为1，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意：f（x）=log3（3﹣3x），

∴3﹣3x＞0，即x＜1，

所以函数f（x）的定义域为（﹣∞，1）

（2）解：易知g（x）=loga（3﹣ax）﹣loga（3+ax），

∵3﹣ax＞0，且3+ax＞0，

∴ ，关于原点对称，

又∵g（x）=loga（3﹣ax）﹣loga（3+ax）= ，

∴g（﹣x）= =﹣ =﹣g（x），

∴g（x）为奇函数

（3）解：令u=3﹣ax，∵a＞0，a≠1，

∴u=3﹣ax在[2，3]上单调递减，

又∵函数f（x）在[2，3]递增，∴0＜a＜1，

又∵函数f（x）在[2，3]的最大值为1，

∴f（3）=1，

即f（3）=loga（3﹣3a）=1，

∴

【解析】（1）根据对数函数的性质求出函数的定义域即可；（2）根据奇函数的定义证明即可；（3）令u=3﹣ax，求出u=3﹣ax在[2，3]上的单调性，根据f（x）的最大值，求出a的值即可．