Question

(本小题满分16分)
已知数列，，且满足（）.
（1）若，求数列的通项公式；
（2）若，且.记，求证：数列为常数列；
（3）若，且.若数列中必有某数重复出现无数次，求首项应满足的条件.

Answer 1

（1）数列的通项为. （2）见解析；
（3）当时，数列中必有某数重复出现无数次.

本试题主要是考查了数列的通项公式的求解，以及数列的概念和数列的单调性的运用。
（1）当时，有累加法得到
 
，也满足上式，
所以数列的通项为.
（2）因为，
所以对任意的有，
所以数列是一个以6为周期的循环数列
进而证明为常数列
（3）因为，且，所以，
且对任意的，有，  
设，（其中为常数且），所以

，
所以数列均为以7为公差的等差数列.记，构造新数列来分析周期性和最值问题。
（1）当时，有
 ……………………1分
，也满足上式，
所以数列的通项为. ………………………………………………………3分
（2）因为，
所以对任意的有，
所以数列是一个以6为周期的循环数列……………………………………………………5分
又因为，所以
所以

，
所以数列为常数列. ……………………………………………………………………7分
（3）因为，且，所以，
且对任意的，有，  
设，（其中为常数且），所以

，
所以数列均为以7为公差的等差数列.……………………………………………10分
记，则，
（其中，为中的一个常数），
当时，对任意的有；…………………………………………12分
当时，
 
①若，则对任意的有，数列为单调减数列；
②若，则对任意的有，数列为单调增数列；
综上，当时，数列中必有某数重复出现无数次……………14分
当时，符合要求；当时，符合要求，此时的；
当时，符合要求，此时的；
当时，符合要求，此时的；
当时，符合要求，此时的；
当时，符合要求，此时的；
即当时，数列中必有某数重复出现无数次.………………………16分