Question

设关于x的不等式x²-x＜2nx（n∈N）的解集中整数的个数为a_n，则数列{a_n}的前n项和S_n=

n²+n

．

Answer 1

分析：解题中的一元二次不等式，得解集为（0，2n+1），从中找出整数的个数得到a_n=2n，再用等差数列的求和公式进行计算，即可得到数列{a_n}的前n项和S_n．

解答：解：∵不等式x²-x＜2nx化成x²-（2n+1）x＜0
∴解之得0＜x＜2n+1，解集为（0，2n+1）
∵区间（0，2n+1）中的整数共有2n个，
∴可得a_n=2n，{a_n}构成以2为首项，公差d=2的等差数列
∴{a_n}的前n项和S_n=2n+

n(n-1)

2

×2=n²+n．
故答案为：n²+n

点评：本题给出数列的通项为不等式的解集中整数的个数，求数列{a_n}的前n项和S_n．着重考查了二元一次不等式的解法和等差数列的求和公式等知识，属于基础题．