Question

设椭圆的两个焦点是F₁（-c，0），F₂（c，0）（c＞0），且椭圆上存在点P，使得直线PF₁与直线PF₂垂直．
（I）求实数m的取值范围．
（II）设l是相应于焦点F₂的准线，直线PF₂与l相交于点Q．若，求直线PF₂的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据直线PF₁⊥直线PF₂推断以O为圆心以c为半径的圆与椭圆有交点，两个方程联立，表示出x²，进而根据0≤x²＜a²确定m的范围．
（2）设P（x，y），直线PF₂方程为：y=k（x-c），根据直线l的方程求得点Q的坐标，根据可推断出点P分有向线段所成比为，进而根据Q和F₂的坐标求得点P的坐标，代入椭圆方程求得k，直线PF₂的方程可得．
解答：解：（1）∵直线PF₁⊥直线PF₂
∴以O为圆心以c为半径的圆：x²+y²=c²与椭圆：有交点．即有解
又∵c²=a²-b²=m+1-1=m＞0
∴
∴m≥1
（2）设P（x，y），直线PF₂方程为：y=k（x-c）
∵直线l的方程为：
∴点Q的坐标为（）
∵
∴点P分有向线段所成比为
∵F₂（，0），Q（）
∴P（）
∵点P在椭圆上∴
∴
直线PF₂的方程为：y=（x-）．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．