Question

（本小题满分14分）

设函数的定义域为R，当x＜0时，＞1，且对任意的实数x，y∈R，有.

(1)求,判断并证明函数的单调性；

(2)数列满足,且，

①求通项公式；

②当时，不等式对不小于2的正整数

恒成立，求x的取值范围.

 

 

Answer 1

【答案】

f（x）在R上减函数

（1，+∞）

【解析】解：(1) 时，f（x）＞1；

令x=－1，y=0则f（－1）=f（－1）f（0）∵f（－1）＞1，

∴f（0）=1 ．    ……………………………2分

若x＞0，则f（x－x）=f（0）=f（x）f（－x）故，

故x∈R   f（x）＞0．…………………………………………………4分

任取x₁＜x₂ ，，

，

故f（x）在R上减函数．……………………………6分

(2) ①  ，…………8分

由f（x）单调性得 a_n+1=a_n+2 ， 故{a_n}等差数列 ，  ．………………9分

②，

           是递增数列．………………………11分

当n≥2时，，

，……………………………12分

即．

而a＞1，∴x＞1，

故x的取值范围（1，+∞）．……………………………14分