Question

设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，在轴负半轴上有一点，满足，且.

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）D是过三点的圆上的点，D到直线的最大距离等于椭圆长轴的长，求椭圆的方程；

（Ⅲ）在（2）的条件下，过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在点使得以为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出的取值范围，如果不存在，说明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）椭圆的离心率     （2）椭圆方程为.  （3）的取值范围是

【解析】I)由于可以根据,把B点坐标用b,c表示出来,然后利用建立关于a,b,c的方程，即可确定e的值.

(II)先求出过三点A、B、F₂的圆的方程，然后根据圆到直线上的最大距离应为圆心到直线的距离加上半径.再结合离心率即可确定椭圆C的方程.

（III）解题的关键是菱形条件就是然后坐标化再由直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理差别式这个通式通法，解决问题.

解：（Ⅰ）设B（x₀，0），由（c，0），A（0，b），知 ，由于 即为中点．故，故椭圆的离心率   --4分

（Ⅱ）由（1）知得于是（，0）, B，

△ABF的外接圆圆心为（，0），半径r=|FB|=,D到直线的最大距离等于，所以圆心到直线的距离为，所以，解得=2，∴c =1，b=，  所求椭圆方程为.    ------------------8分

（Ⅲ）由（2）知, ：

           代入得  

设，则，  ------9分

由于菱形对角线垂直，则故则

    -------------10分

由已知条件知且     

故存在满足题意的点P且的取值范围是．