Question

已知直线m的参数方程

x= t a2+1 y=2+ at a2+1

（t为参数，a∈R），圆C的参数方程为

x=2cosθ y=3+2sinθ

（θ为参数）
（1）试判断直线m与圆C的位置关系，并说明理由；
（2）当a=-

1

3

时，求直线m与圆C的相交弦长；
（3）在第二问的条件下，若有定点A（-1，0），过点A的动直线l与圆C交于P，Q两点，M是P，Q的中点，l与m交于点N，探究

AM•

AN

是否与直线l的倾斜角有关，若无关，请求出定值，若有关，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）把直线m的参数方程消去参数，化为普通股方程；把圆C的参数方程消去参数，化为普通股方程，可得表示以C（0，3）为圆心，半径等于2的圆．求得圆心到直线的距离小于半径，可得直线和圆相交．
（2）当a=-

1

3

时，求得圆心到直线的距离d，再根据弦长为2

r2-d2

，计算求得结果．
（3）分动直线l的斜率不存在时，和当动直线l的斜率存在时两种情况，分别求得交点N和点M的坐标，求得

AM

•

AN

  都等于7，从而得出结论．

解答：解：（1）把直线m的参数方程

x= t a2+1 y=2+ at a2+1

（t为参数，a∈R），消去参数，化为普通股方程为 y=ax+2，
圆C的参数方

x=2cosθ y=3+2sinθ

（θ为参数）消去参数，化为普通股方程为 x²+（y-3）²=4，表示以C（0，3）为圆心，半径等于2的圆．
由于圆心到直线的距离d=

|0-3+2|

a2+1

=

1

a2+1

≤1＜r，故直线和圆相交．
（2）当a=-

1

3

时，圆心到直线的距离d=

|0-3+2|

a2+1

=

3

10

，∴弦长为2

r2-d2

=2

4- 9 10

=

310

5

．
（3）当动直线l的斜率不存在时，方程为x=-1，它与直线m：y=-

1

3

x+2的交点N（-1，

7

3

），
它与圆C的交点分别为（-1，3+

3

）、（-1，3-

3

），∴中点M（-1，3），
此时，

AM

•

AN

=（0，3）•（0，

7

3

）=7．
当动直线l的斜率存在时，设它的方程为 y-0=k（x+1），它与直线m：y=-

1

3

x+2的交点N（

6-3k

3k+1

，

7k

3k+1

），
把直线m：y=-

1

3

x+2代入圆的方程化简可得 （1+k²）x²+（2k²-6k）x+k²-6k+5=0，
∴M的横坐标为

x1+x2

2

=

3k-k2

1+k2

，∴M的纵坐标为 k（

3k-k2

1+k2

+1）=

k(3k+1)

1+k2

，即点M的坐标为（

3k-k2

1+k2

，

k(3k+1)

1+k2

）．
此时，

AM

•

AN

=（

3k+1

1+k2

，

k(3k+1)

1+k2

）•（

7

3k+1

，

7k

3k+1

）=

7

1+k2

+

7k2

1+k2

=7．
综上，

AM•

AN

=7为定值，与直线l的倾斜角无关．

点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，点到直线的距离公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．