Question

【题目】设数列{an}的前n项和为Sn ， 若 （n∈N*），则称{an}是“紧密数列”；
（1）若a1=1， ，a3=x，a4=4，求x的取值范围；
（2）若{an}为等差数列，首项a1 ， 公差d，且0＜d≤a1 ， 判断{an}是否为“紧密数列”；
（3）设数列{an}是公比为q的等比数列，若数列{an}与{Sn}都是“紧密数列”，求q的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意， 且 ，∴2≤x≤3，

∴x的取值范围是[2，3]；

（2）解：由题意，an=a1+（n﹣1）d，∴ ，

随着n的增大而减小，所以当n=1时， 取得最大值，∴ ≤2，

∴{an}是“紧密数列”；

（3）解：由题意得，等比数列{an}的公比q

当q≠1时，所以an=a1qn﹣1，Sn= ， ，

因为数列{an}与{Sn}都是“紧密数列”，所以 ， ，解得 ，

当q=1时，an=a1，Sn=na1，则 =1， ，符合题意，

∴q的取值范围是 ．

【解析】（1）由题意， 且 ，即可求出x的取值范围；（2）由题意，an=a1+（n﹣1）d， ，根据“紧密数列”的定义即可证明结论；（3）先设公比是q并判断出q≠1，由等比数列的通项公式、前n项和公式化简 ，根据“紧密数列”的定义列出不等式组，再求出公比q的取值范围．